Question

已知公比为正数的等比数列{a_n}满足：a₁=3，前三项和S₃=39．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=a_n•log₃a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）根据等比数列的前三项建立关于q的方程，求出q的值，从而求出数列的通项公式，注意公比为正数这一条件；
（2）先求出数列{b_n}的通项公式，然后根据通项公式的特征可知利用错位相消法进行求和即可求出所求．

解答：解：（1）∵公比为正数的等比数列{a_n}中a₁=3，S₃=39
∴3+3q+3q²=39解得q=3或-4（舍去）
∴a_n=a₁q^n-1=3×3^n-1=3ⁿ，
（2）∵b_n=a_n•log₃a_n，
∴b_n=3ⁿ•log₃3ⁿ=n•3ⁿ，
∴T_n=1×3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ；          ①
3T_n=1×3²+2×3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹；②
由①-②得-2T_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=

3(1-3n)

1-3

-n•3ⁿ⁺¹=

3

2

(3n-1)-n•3ⁿ⁺¹；
∴T_n=（

n

2

-

1

4

）3ⁿ⁺¹+

3

4

∴数列{b_n}的前n项和T_n=（

n

2

-

1

4

）3ⁿ⁺¹+

3

4

点评：本题主要考查了等比数列的通项公式，以及利用错位相消法求数列的和，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．