Question

已知公比为3的等比数列{b_n}与数列{a_n}满足{b_n}=3an，n∈N^*，且a₁=1．
（1）判断{a_n}是何种数列，并给出证明；
（2）若c_n=

1

anan+1

，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

（1）∵等比数列{b_n}的公比为3
∴

bn+1

bn

=

3an+1

3an

=3an+1-an=3
∴a_n+1-a_n=1
∴{a_n}是等差数列
（2）∵a₁=1，a_n+1-a_n=1
∴a_n=n
则c_n=

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴S_n=c₁+c₂+c₃+…c_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

∴数列{c_n}的前n项和为1-

1

n+1