Question

14．解方程：cos2x=cosx+sinx．

Answer 1

分析 先化简方程，再利用三角函数的图象与性质，即可得出结论．

解答 解：∵cos2x=cosx+sinx，
∴cos²x-sin²x=cosx+sinx，
∴（cosx+sinx）（cosx-sinx）-（cosx+sinx）=0，
∴（cosx+sinx）（cosx-sinx-1）=0．
如果cosx+sinx=0，则得1+tanx=0，tanx=-1，
解x=kπ-$\frac{π}{4}$（k为整数）．
如果cosx-sinx-1=0则得cosx-sinx=1，∴cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴x+$\frac{π}{4}$=2kπ±$\frac{π}{4}$，∴x=2kπ或2kπ-$\frac{π}{2}$（k为整数）．
综上，x=kπ-$\frac{π}{4}$或2kπ或2kπ-$\frac{π}{2}$（k为整数）．

点评 本题是一个三角恒等变换问题，解题的关键是减小角的倍数，化异为同，利用方程的思想解题是三角函数常见的做法，最后是给值求角的问题，注意不要漏解．