题目内容
已知数列{bn}满足条件：首项b1=1，前n项之和Bn=| 3n2-n |
| 2 |
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）设数列{an}的满足条件：an=（1+
| 1 |
| bn |
| 3 | bn+1 |
分析：（1）由bn=Bn-Bn-1=
-
=3n-2，能得到数列{bn}的通项公式．
（2）由an=（1+
）an-1，得
=1+
，an=
•
•
a1，由a1=2，bn=3n-2知，an=（1+
）（1+
）（1+
）2=（1+1）（1+
）（1+
），由此入手，利用数学归纳法能够证明an＞
．
| 3n2-n |
| 2 |
| 3(n-1)2-(n-1) |
| 2 |
（2）由an=（1+
| 1 |
| bn |
| an |
| an-1 |
| 1 |
| bn |
| an |
| an-1 |
| an-1 |
| an-2 |
| a2 |
| a1 |
| 1 |
| 3n-2 |
| 1 |
| 3n-5 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 3n-2 |
| 3 | bn+1 |
解答：解：（1）当n＞1时，bn=Bn-Bn-1
=
-
=3n-2
令n=1得b1=1，
∴bn=3n-2．（5分）
（2）由an=（1+
）an-1，得
=1+
∴an=
•
•
a1
由a1=2，bn=3n-2知，
an=（1+
）（1+
）（1+
）2
=（1+1）（1+
）（1+
）
又
=
=
，（5分）
设cn=
，
当n=1时，有（1+1）=
＞
=
当n=2时，有an=（1+1）（1+
）=
=
＞
=
=cn
假设n=k（k≥1）时an＞cn成立，
即（1+1）（1+
）（1+
）＞
成立，
则n=k+1时，
左边═（1+1）（1+
）（1+
）（1+
）
＞
（1+
）=
（3分）
右边=ck+1=
=
由（ak+1）3-（ck+1）3=（3k+1）
-（3k+4）
=
=
＞0，得ak+1＞ck+1成立．
综合上述，an＞cn对任何正整数n都成立．（3分）
=
| 3n2-n |
| 2 |
| 3(n-1)2-(n-1) |
| 2 |
令n=1得b1=1，
∴bn=3n-2．（5分）
（2）由an=（1+
| 1 |
| bn |
| an |
| an-1 |
| 1 |
| bn |
∴an=
| an |
| an-1 |
| an-1 |
| an-2 |
| a2 |
| a1 |
由a1=2，bn=3n-2知，
an=（1+
| 1 |
| 3n-2 |
| 1 |
| 3n-5 |
| 1 |
| 4 |
=（1+1）（1+
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 3n-2 |
又
| 3 | bn+1 |
| 3 | 3(n+1)-2 |
| 3 | 3n+1 |
设cn=
| 3 | 3n+1 |
当n=1时，有（1+1）=
| 3 | 8 |
| 3 | 3×1+1 |
| 3 | 4 |
当n=2时，有an=（1+1）（1+
| 1 |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
=
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 | 3×2+1 |
假设n=k（k≥1）时an＞cn成立，
即（1+1）（1+
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 3k-2 |
| 3 | 3k+1 |
则n=k+1时，
左边═（1+1）（1+
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 3k-2 |
| 1 |
| 3(k+1)-2 |
＞
| 3 | 3k+1 |
| 1 |
| 3(k+1)-2 |
| 3 | 3k+1 |
| 3k+2 |
| 3k+1 |
右边=ck+1=
| 3 | 3(k+1)+1 |
| 3 | 3k+4 |
由（ak+1）3-（ck+1）3=（3k+1）
| (3k+2)3 |
| (3k+1)3 |
=
| (3k+2)3-(3k+4)(3k+1)2 |
| (3k+1)2 |
=
| 9k+4 |
| (3k+1)2 |
综合上述，an＞cn对任何正整数n都成立．（3分）
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意数列递推公式的合理运用，合理地运用数学归纳法进行证明．
练习册系列答案
字词句段篇系列答案
相关题目