Question

设函数f（x）=

1

2

sinx+

3

2

cosx，x∈R
（Ⅰ）求函数f（x）的周期和值域；
（Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=

3

2

，且a=

3

2

b，求角C的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化简可得f（x）=sin（x+

π

3

），进而可得周期和值域；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（A）=sin（A+

π

3

）=

3

2

，由条件可得A=

π

3

，由a=

3

2

b结合正弦定理可得sinA=

3

2

sinB，可得sinB=1，根据角的范围可得B值，由三角形的内角和可得．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

1

2

sinx+

3

2

cosx=sin（x+

π

3

），
∴f（x）的周期为T=2π，
∵x∈R，∴x+

π

3

∈R，
∴f（x）的值域为[-1，1]．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（A）=sin（A+

π

3

）=

3

2

，
∵0＜A＜π，
∴

π

3

＜A+

π

3

＜

4π

3

，∴A+

π

3

=

2π

3

，
解得A=

π

3

，
又∵a=

3

2

b，
∴sinA=

3

2

sinB，即

3

2

=

3

2

sinB，
解得sinB=1，
∴B=

π

2

，∴C=π-A-B=

π

6

点评：本题考查三角函数公式，涉及正弦定理的应用，属中档题．