Question

设函数f（x）=

1

2

•（

1

4

）^x-1+a•（

1

2

）^x-a+2
（1）若a=4，解不等式f（x）＞0；
（2）若方程f（x）=0有负数根，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）若a=4，直接解不等式f（x）＞0即可；
（2）根据方程f（x）=0有负数根，利用换元法转化为二次函数，即可求a的取值范围．

解答：解：（1）若a=4，f（x）=

1

2

•（

1

4

）^x-1+4•（

1

2

）^x-2=2(

1

4

)x+4•(

1

2

)x-2
令t=（

1

2

）^x，则t＞0，
即函数等价为g（t）=2t²+4t-2，由g（t）=2t²+4t-2＞0，
解得t＞

2

-1，
由（

1

2

） x＞

2

-1，
解得0＜x＜log2(

2

+1)．
（2）若方程f（x）=0有负数根，即当x＜0时，f（x）=0有解，
令t=（

1

2

）^x，则t＞1，
则g（t）=2t²+at+2-a，在t＞1时有解．
∵g（1）=2+2=4＞0，
∴要使g（t）在t＞1时有解．
则

- a 4 ＞1 △=a2-8(2-a)≥0

，即

a＜-4 a2+8a-16≥0

，
∴

a＜-4 a≤-4-4 2 或a≥-4+4 2

，
解得a≤-4-4

2

，
即a的取值范围a≤-4-4

2

．

点评：本题主要考查指数函数的图象和性质，利用换元法将指数函数转化为二次函数，是解决本题的关键．