Question

如图，△PAD为等边三角形，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AB=2，E、F、G分别为PA、BC、PD中点，PC与底面ABCD成45⁰角．
（Ⅰ）求证：AG⊥EF
（Ⅱ）求二面角P-DF-A的正切．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接GE、GC，证明AG⊥平面PCD，可得AG⊥CG，再证明CG∥EF即可得到结论；
（Ⅱ）取AD中点H，连接PH，证明∠PCH是PC与平面ABCD所成的角，可求等边△PAD边长，过P做PK⊥DF于K，连接HK，则∠PKH就是二面角P-DF-A的平面角，利用正切函数可求二面角P-DF-A的正切值．

解答：（Ⅰ）证明：连接GE、GC
∵△PAD是等边三角形，G为PD边中点，
∴AG⊥PD…（1分）
∵ABCD为矩形，∴CD⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴CD⊥平面PAD…（2分）
∴CD⊥AG，∴AG⊥平面PCD，∴AG⊥CG…（3分）
∵E、F分别为PA、BC中点，
∴GE

∥ .

.

1

2

AD，CF

∥ .

.

1

2

AD，∴GE

∥ .

.

CF，
∴四边形CFEG是平行四边形，∴CG∥EF…（4分）
∴AG⊥EF…（5分）
（Ⅱ）解：（图1）取AD中点H，连接PH，在等边△PAD中，PH⊥AD，则PH⊥平面ABCD，∴PH⊥CH且∠PCH是PC与平面ABCD所成的角，∴∠PCH=45°，…（7分）
设等边△PAD边长为a，则PH=HC=

3

2

a，DH=

1

2

a
∵在矩形ABCD中，AB=2，
∴4=CD2=CH2-DH2=

3

4

a2-

1

4

a2=

1

2

a2
解得a=2

2

…（9分）
∵PH⊥平面ABCD，∴PH⊥DF
过P做PK⊥DF于K，连接HK，则DF⊥平面PHK，则∠PKH就是二面角P-DF-A的平面角…（11分）
由DF=

6

及s△ADF=

1

2

×2HK•DF=

1

2

AB•AD解得HK=

2 3

3

∴在R_t△PDF中，tan∠PKH=

PH

HK

=

3 2

2

…（12分）
∴求二面角P-DF-A的正切值为

3 2

2

…（14分）

点评：本题考查线线垂直，考查面面角，解题的关键是证明线面垂直，正确作出面面角，属于中档题．