Question

如图，△PAD为等边三角形，ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，AB=2，E、F、G分别为PA、BC、PD中点，AD=2

2

．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面PAD
（Ⅱ）求多面体P-AGF的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用面面垂直的性质，证明线面垂直即可； 
（II）判断点F到平面PAD的距离等于AB．由此可得三棱锥F-PAG的体积V，即为多面体P-AGF的体积．

解答：（Ⅰ）证明：∵ABCD为矩形，∴AB⊥AD
又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，AB?平面ABCD，
∴AB⊥平面PAD
（Ⅱ）解：由（I）得AB⊥平面PAD，
∵BC∥AD，AD?平面PAD，BC?平面PAD，∴BC∥平面PAD，
∴点F到平面PAD的距离等于AB
∴三棱锥F-PAG的体积为：V=

1

3

×AB×S_△PAG=

1

3

×2×

1

2

×

3

4

×(2

2

)2=

2 3

3

．

点评：本题考查线面垂直、考查锥体的体积，正确运用面面垂直的性质是关键，属于中档题．