Question

如图，△PAD为等边三角形，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AB=2，E、F、G分别为PA、BC、PD中点，AD=2

2

．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PCD．
（Ⅱ）求证：AG⊥EF
（Ⅲ）求多面体P-AGF的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由ABCD为矩形，知AD||BC，AD=BC，由E，F，G分别为PA，BC，PD中点，导出四形CFEG是平行四形，由此能够证明EF∥平面PCD．
（Ⅱ）由△PAD是等三角形，G为PD边的中点．知AG⊥PD，由此能够证明AG⊥EF．
（Ⅲ）由V_{三棱柱P-AFG}=V_{三棱柱F-PAG}，能够求出多面体P-AGF的体积．

解答：（Ⅰ）证明：∵ABCD为矩形，
∴AD||BC，AD=BC，
又∵E，F，G分别为PA，BC，PD中点，
∴GE∥AD，GE=

1

2

AD，∴CF∥AD，CF=

1

2

AD，
∴GE∥CF，GE=CF，∴四形CFEG是平行四形，
∴CG∥EF，
又∵EF?平面PCD，CG?平面PCD，∴EF∥平面PCD．
（Ⅱ）证明：∵△PAD是等三角形，G为PD边的中点．
∴AG⊥PD，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AG，∴AG⊥平面PCD，
∵CG∥EF，∴AG⊥EF．
（Ⅲ）解：V_{三棱柱P-AFG}=V_{三棱柱F-PAG}，
=

1

3

AB•S△PAG
=

1

3

×2×

1

2

×

3

4

×8=

2 3

3

．

点评：本题考查直线与平面的平行的证明，考查直线与直线垂直的证明，考查多面体体积的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．