Question

18．设函数f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+φ）（0＜φ＜$\frac{π}{2}$），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=$\frac{π}{4}$．
（1）求φ
（2）求函数f（x）图象的对称中心．

Answer 1

分析 （1）利用x=$\frac{π}{4}$是函数y=f（x）的图象的对称轴，可求得φ=$\frac{3π}{8}$+kπ，又0＜ϕ＜π，从而可得φ的值；
（2）利用正弦函数的图象和性质，根据$\frac{1}{2}$x+$\frac{3π}{8}$=kπ，k∈Z，可解得对称中心．

解答 解：（1）∵x=$\frac{π}{4}$是函数y=f（x）的图象的对称轴，
∴sin（φ+$\frac{1}{2}$×$\frac{π}{4}$）=±1，
∴φ+$\frac{π}{8}$=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴φ=kπ+$\frac{3π}{8}$，又0＜ϕ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{3π}{8}$．
（2）由（1）得函数f（x）的解析式为y=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{3π}{8}$），
由$\frac{1}{2}$x+$\frac{3π}{8}$=kπ，k∈Z，可解得对称中心为：（2kπ-$\frac{3π}{4}$，0）

点评 本题考查正弦函数的图象和对称性，求得φ的值是关键，考查了分析、运算、求解能力，属于中档题．