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已知|an-e|＜1，求证：|an|＜|e|+1
【答案】分析：本题应用绝对值三角不等式进行放缩即可证明，绝对值三角不等式是指：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|．
解答：证：根据绝对值不等式得：
|an|-|e|≤|an-e|，
∵|an-e|＜1
∴|an|-|e|＜1．
∴|an|＜|e|+1．
点评：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、某些已经证明过的不等式及不等式的性质经过一系列的推理、论证等而推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法．
练习册系列答案
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6、已知|an-e|＜1，求证：|an|＜|e|+1
数列{an}满足a1=1且an+1=(1+
1
n2+n
)an+
1
2n
(n≥1)．
（1）用数学归纳法证明：an≥2（n≥2）
（2）设bn=
an+1-an
an
，证明数列{bn}的前n项和Sn＜
7
4

（3）已知不等式ln（1+x）＜x对x＞0成立，证明：an＜2e
3
4
（n≥1）（其中无理数e=2.71828…）
已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）它的两个焦点为F1（-5
3
，0），F2（5
3
，0），P为椭圆E上一点（点P在第三象限），且△F1 F2的周长等于20+10
3
．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若以点P为圆心的圆经过椭圆E的左顶点M与点C（-2，0），直线MP交圆P于另一点N，试在椭圆E上找一点A，使得
AM
•
AN
取得最小值，并求出最小值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左顶点是A，过焦点F（c，0）（c＞0，为椭圆的半焦距）作倾斜角为θ的直线（非x轴）交椭圆于M，N两点，直线AM，AN分别交直线x=
a2
c
（称为椭圆的右准线）于P，Q两点．
（1）若当θ=30°时有
MF
=3
FN
，求椭圆的离心率；
（2）若离心率e=
2
2
，求证：
FP
•
FQ
为定值．

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