Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左顶点是A，过焦点F（c，0）（c＞0，为椭圆的半焦距）作倾斜角为θ的直线（非x轴）交椭圆于M，N两点，直线AM，AN分别交直线x=

a2

c

（称为椭圆的右准线）于P，Q两点．
（1）若当θ=30°时有

MF

=3

FN

，求椭圆的离心率；
（2）若离心率e=

2

2

，求证：

FP

•

FQ

为定值．

Answer 1

分析：（1）作MM₁，NN₁垂直准线于M₁，N₁，NH垂直MM₁于H，设|NF|=m，则|FM|=3m，根据椭圆的第二定义有：|NN1| =

m

e

，|MM1| =

3m

e

，故|MH|=

2m

e

，在Rt△NMH中，∠NMH=30°，由此能求出e．
（2）当e=

2

2

时，a=

2

c，则椭圆方程化为：x²+2y²-2c²=0，准线：x=

a2

c

=2c，设MN的方程为x=ty+c，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（2c，y_P），Q（2c，y_Q），由A，M，P三点共线，得P(2c，

(a+2c)y1

x1+a

)，

FP

=(c，

(a+2c)y1

x1+a

)，由A，N，Q三点共线，得Q（2c，

(a+2c)y2

x2+a

），

FQ

=(c，

(a+2c)y2

x2+a

)，由此能够证明

FP

•

FQ

为定值．

解答：解：（1）如图，作MM₁，NN₁垂直准线于M₁，N₁，NH垂直MM₁于H，
设|NF|=m，则|FM|=3m，根据椭圆的第二定义有：
|NN1| =

m

e

，|MM1| =

3m

e

，∴|MH|=

2m

e

，
在Rt△NMH中，∠NMH=30°，
∴

|MH|

|MN|

=

2m e

4m

=cos30°，
解得e=

3

3

．
（2）当e=

2

2

时，a=

2

c，
则椭圆方程化为：x²+2y²-2c²=0，
准线：x=

a2

c

=2c，
设MN的方程为x=ty+c，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（2c，y_P），Q（2c，y_Q），
由A，M，P三点共线，得P(2c，

(a+2c)y1

x1+a

)，

FP

=(c，

(a+2c)y1

x1+a

)，
由A，N，Q三点共线，得Q（2c，

(a+2c)y2

x2+a

），

FQ

=(c，

(a+2c)y2

x2+a

)，

FP

•

FQ

=c2+

(a+2c)2y1y2

x1x2+a(x1+x2  )+a2

，①
把x=ty+c代入x²+2y²-2c²=0，得（2+t²）y²+2cty-c²=0，

y1+y2=- 2ct 2+t2 y1y2 =- c2 2+t2

，
∴(a+2c)2y1y2=-

c2(a+2c)2

2+t2

，②
x1x2+a(x1+x2)+a2
=t2y1 y2+(ct+at)(y1+y2)+(a+c) 2
=t2(-

c2

2+t

)+(ct+at)(-

2ct

2+t2

)+(a+c)2
=

(a2-2c2)t2+2(a+c)2

2+t2

=

2(a+c)2

2+t2

．③
∵a=

2

c，
∴将②③代入①，整理得

FP

•

FQ

=c2-

c2(a+2c)2

2(a+c)2

=0．

点评：本题考查椭圆方程的求法和向量数量积为定值的证明，具体涉及到椭圆的简单性质，根与系数的关系，椭圆的离心率等基本知识的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．