题目内容
数列{an}满足a1=1且an+1=(1+
)an+
(n≥1)．
（1）用数学归纳法证明：an≥2（n≥2）
（2）设bn=
，证明数列{bn}的前n项和Sn＜
（3）已知不等式ln（1+x）＜x对x＞0成立，证明：an＜2e
（n≥1）（其中无理数e=2.71828…）
| 1 |
| n2+n |
| 1 |
| 2n |
（1）用数学归纳法证明：an≥2（n≥2）
（2）设bn=
| an+1-an |
| an |
| 7 |
| 4 |
（3）已知不等式ln（1+x）＜x对x＞0成立，证明：an＜2e
| 3 |
| 4 |
分析：（1）利用数学归纳法的证题步骤，关键验证当n=k+1时不等式成立；
（2）对通项进行放缩，利用裂项法求和，即可证得结论；
（3）先证明n≥2时，lnan+1-lnan≤
+
，再累加，即可证得结论．
（2）对通项进行放缩，利用裂项法求和，即可证得结论；
（3）先证明n≥2时，lnan+1-lnan≤
| 1 |
| n2+n |
| 1 |
| 2n+1 |
解答：证明：（1）①当n=2 时，a2=2，不等式成立．
②假设当n=k（k≥2）时不等式成立，即ak≥2，那么ak+1=(1+
)ak+
＞ak≥2．
即当n=k+1时不等式成立．
根据①②可知：an≥2对 n≥2成立．…（4分）
（2）∵
=1+
+
，∴bn=
=
-1=
+
当n=1时，b1=
=1，
当n≥2时，an≥2，bn=
+
≤
+
，
故Sn=b1+b2+…+bn≤1+(
+
+…+
)+(
+
+…+
)
=1+[
-
+
-
+…+
-
]+
[1-(
)n-1]＜1+
+
=
…（9分）
（3）当n≥2时，由（1）的结论知：an+1=(1+
)an+
≤(1+
+
)an
∵ln（1+x）＜x，
∴lnan+1≤ln(1+
+
)+lnan＜lnan+
+
，
∴lnan+1-lnan≤
+
（n≥2）
求和可得lnan-lna2＜
+
+…+
+
+
+…+
=
-
+
-
＜
而a2=2，∴ln
＜
，∴an＜2e
（n≥2），而a1=1＜2e
故对任意的正整数n，有an＜2e
．…（14分）
②假设当n=k（k≥2）时不等式成立，即ak≥2，那么ak+1=(1+
| 1 |
| k2+k |
| 1 |
| 2k |
即当n=k+1时不等式成立．
根据①②可知：an≥2对 n≥2成立．…（4分）
（2）∵
| an+1 |
| an |
| 1 |
| n2+n |
| 1 |
| 2nan |
| an+1-an |
| an |
| an+1 |
| an |
| 1 |
| n2+n |
| 1 |
| 2nan |
当n=1时，b1=
| a2-a1 |
| a1 |
当n≥2时，an≥2，bn=
| 1 |
| n2+n |
| 1 |
| 2nan |
| 1 |
| n2+n |
| 1 |
| 2n+1 |
故Sn=b1+b2+…+bn≤1+(
| 1 |
| 2•3 |
| 1 |
| 3•4 |
| 1 |
| n(n+1) |
| 1 |
| 23 |
| 1 |
| 24 |
| 1 |
| 2n+1 |
=1+[
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 7 |
| 4 |
（3）当n≥2时，由（1）的结论知：an+1=(1+
| 1 |
| n2+n |
| 1 |
| 2n |
| 1 |
| n2+n |
| 1 |
| 2n+1 |
∵ln（1+x）＜x，
∴lnan+1≤ln(1+
| 1 |
| n2+n |
| 1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| n2+n |
| 1 |
| 2n+1 |
∴lnan+1-lnan≤
| 1 |
| n2+n |
| 1 |
| 2n+1 |
求和可得lnan-lna2＜
| 1 |
| 2•3 |
| 1 |
| 3•4 |
| 1 |
| n(n-1) |
| 1 |
| 23 |
| 1 |
| 24 |
| 1 |
| 2n |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 2n |
| 3 |
| 4 |
而a2=2，∴ln
| an+1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
故对任意的正整数n，有an＜2e
| 3 |
| 4 |
点评：本题考查数学归纳法，考查不等式的证明，考查放缩法、累加法，考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度．
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