Question

20．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}，x≤1}\\{-{x}^{2}+4x-\frac{5}{2}，x＞1}\end{array}\right.$，若函数g（x）=$\frac{3}{2}$x-a，其中a∈R，若函数y=f（x）-g（x）恰有3个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{15}{16}$）
• B． （$\frac{15}{16}$，1）
• C． （1，$\frac{16}{15}$）
• D． （1，$\frac{5}{4}$）

Answer 1

分析 由y=f（x）-g（x）=0得f（x）=g（x），作出两个函数f（x）和g（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：由y=f（x）-g（x）=0得f（x）=g（x），作出两个函数f（x）和g（x）的图象，
则A（1，$\frac{1}{2}$），
当g（x）经过点A时，f（x）与g（x）有2个交点，此时g（1）=$\frac{3}{2}$-a=$\frac{1}{2}$，此时a=1，
当g（x）与f（x）在x＞1相切时，此时f（x）与g（x）有2个交点
由-x²+4x-$\frac{5}{2}$=$\frac{3}{2}$x-a，
即x²-$\frac{5}{2}$x+$\frac{5}{2}$-a=0，
由判别式△=0得（$\frac{5}{2}$）²-4（$\frac{5}{2}$-a）=0，
得a=$\frac{15}{16}$，
要使f（x）与g（x）有3个交点，则g（x）位于这两条线之间，
则a满足a∈（$\frac{15}{16}$，1），
故选：B

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数的交点问题，利用数形结合作出两个函数的图象是解决本题的关键．综合性较强．