Question

11．过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞0，b＞0）$的右焦点F₂作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A，B．若$\overrightarrow{{F}_{2}A}$=3$\overrightarrow{AB}$，则双曲线的渐近线方程为y=±7x．

Answer 1

分析 求出右焦点和双曲线的渐近线方程，设出过右焦点F₂作斜率为-1的直线为y=-（x+c），代入渐近线方程，求得A，B的坐标，由向量共线的坐标表示，可得a，b的关系，进而得到渐近线方程．

解答 解：由题意可得F₂（-c，0），双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
设过右焦点F₂作斜率为-1的直线为y=-（x+c），
代入渐近线方程，可得A（-$\frac{ac}{a+b}$，-$\frac{bc}{a+b}$），
B（-$\frac{ac}{a-b}$，$\frac{bc}{a-b}$），
由$\overrightarrow{{F}_{2}A}$=3$\overrightarrow{AB}$，可得3$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=4$\overrightarrow{{F}_{2}A}$，
即有3（-$\frac{bc}{a-b}$，$\frac{bc}{a-b}$）=4（$\frac{bc}{a+b}$，-$\frac{bc}{a+b}$），
可得3•（-$\frac{bc}{a-b}$）=4•$\frac{bc}{a+b}$，化简可得b=7a，
即有渐近线方程为y=±7x．
故答案为：y=±7x．

点评 本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查向量共线的坐标表示，运用直线方程联立，求得交点是解题的关键，属于中档题．