Question

设a为实数，函数f（x）=3x²-2ax+a²-1．
（1）若f（）≥0，求a的取值范围；
（2）若不等式f（x）≤0在x∈[]上恒成立，求a的取值范围；
（3）若x∈（a，+∞），求不等式f（x）≥0的解集．

Answer 1

【答案】分析：（1）不等式f（）≥0，即 a²-a-≥0，由此求得a的范围．
（2）不等式f（x）≤0在上恒成立，等价于 ，由此解得a的范围．
（3）由于△=12-8a²=4（3-a²），对称轴为x=．分判别式大于零、小于或等于零两种情况，分别求得不等式f（x）≥0的解集．
解答：解：（1）f（）≥0，即 a²-a-≥0，解得a的范围为{a|，或}．…（4分）
（2）不等式f（x）≤0在上恒成立，等价于 ，解得，故a的范围为[，]．…（10分）
（3）由于△=12-8a²=4（3-a²），对称轴为x=．
①当或时，△≤0，不等式的解集为（a，+∞）；…（12分）
②当时，△＞0，得．
（ⅰ）当时，，不等式的解集为（a，+∞）；
（ⅱ）当时，，
不等式的解集为；
（ⅲ）当时，，
不等式的解集为．…（15分）
综上所述，当，解集为（a，+∞）；
当，解集为；
当，解集为．…（16分）
点评：本题主要考查一元二次不等式的解法，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．