Question

【题目】已知函数f（x）=x3+x﹣16．
（1）求曲线y=f（x）在点（2，﹣6）处的切线方程；
（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f'（x）=（x3+x﹣16）'=3x2+1，

∴在点（2，﹣6）处的切线的斜率k=f′（2）=3×22+1=13，

∴切线的方程为y=13x﹣32

（2）解：设切点为（x0，y0），则直线l的斜率为f'（x0）=3x02+1，

∴直线l的方程为y=（3x02+1）（x﹣x0）+x03+x0﹣16．

又∵直线l过点（0，0），∴0=（3x02+1）（﹣x0）+x03+x0﹣16，

整理，得x03=﹣8，∴x0=﹣2，∴y0=（﹣2）3+（﹣2）﹣16=﹣26，直线l的斜率k=3×（﹣2）2+1=13，

∴直线l的方程为y=13x，切点坐标为（﹣2，﹣26）

【解析】（1）先求出函数的导函数，再求出函数在（2，﹣6）处的导数即斜率，易求切线方程．（2）设切点为（x0 ， y0），则直线l的斜率为f'（x0）=3x02+1，从而求得直线l的方程，有条件直线1过原点可求解切点坐标，进而可得直线1的方程．
【考点精析】利用点斜式方程对题目进行判断即可得到答案，需要熟知直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为则：．