Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，PB⊥AC，AD⊥CD，且AD=CD=2 ，PA=2，点M在线段PD上． （Ⅰ）求证：AB⊥平面PAC；
（Ⅱ）若二面角M﹣AC﹣D的大小为45°，试确定点M的位置．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABCD，AC，AB平面ABCD， 所以 PA⊥AC，PA⊥AB，
又因为PB⊥AC，PA⊥AC，PA，PB平面PAB，PA∩PB=P，
所以AC⊥平面PAB，
又因为AC⊥平面PAB，AB平面PAB，
所以AC⊥AB，
因为AC⊥AB，PA⊥AB，PA，AC平面PAC，PA∩AC=A，
所以AB⊥平面PAC．
（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，又由（Ⅰ）知BA⊥AC，
建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．

则A（0，0，0），C（0，4，0），D（﹣2，2，0），P（0，0，2）， ， ，
设M（x，y，z）， ，则（x，y，z﹣2）=t（﹣2，2，﹣2），
故点M坐标为（﹣2t，2t，2﹣2t）， ，
设平面MAC的法向量为 =（x，y，z），则 ，
所以 ，
令z=1，则 =（ ）．
又平面ACD的法向量 =（0，0，1），
所以cos45°= = ，解得t= ，
故点M为线段PD的中点．
【解析】（Ⅰ）由已知条件推导出PA⊥AC，PA⊥AB，从而得到AC⊥平面PAB，由此能证明AB⊥平面PAC．（Ⅱ）建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能证明点M为线段PD的中点．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能正确解答此题．