Question

各项为正数的数列{an}满足＝4Sn−2an−1（n∈N*），其中Sn为{an}前n项和．
（1）求a1，a2的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）是否存在正整数m、n，使得向量=（2an+2，m）与向量=（−an+5，3+an）垂直？说明理由．

Answer 1

解：（1）当n=1时，＝4S1−2a1−1，化简得(a1−1)2＝0，解之得a1=1
当n=2时，＝4S2−2a2−1=4（a1+a2）-2a2-1
将a1=1代入化简，得a22−2a2−3＝0，解之得a2=3或-1（舍负）
综上，a1、a2的值分别为a1=1、a2=3；
（2）由＝4Sn−2an−1…①，＝4Sn+1−2an+1−1…②
②-①，得−＝4an+1−2an+1+2an＝2(an+1+an)
移项，提公因式得（an+1+an）（an+1-an-2）=0
∵数列{an}的各项为正数，
∴an+1+an＞0，可得an+1-an-2=0
因此，an+1-an=2，得数列{an}构成以1为首项，公差d=2的等差数列
∴数列{an}的通项公式为an=1+2（n-1）=2n-1；
（3）∵向量=（2an+2，m）与向量=（-an+5，3+an）
∴结合（2）求出的通项公式，得=（2（2n+3），m），=（-（2n+9），2n+2）
若向量⊥，则•=-2（2n+3）（2n+9）+m（2n+2）=0
化简得m=4（n+1）+16+
∵m、n是正整数，
∴当且仅当n+1=7，即n=6时，m=45，可使⊥符合题意
综上所述，存在正整数m=45、n=6，能使向量=（2an+2，m）与向量=（-an+5，3+an）垂直．