Question

已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大．现有以下两种设计，如图甲、图乙．图甲的过水断面为等腰△ABC，AB=BC，过水湿周l₁=AB+BC 图乙的过水断面为等腰梯形ABCD，AB=CD，AD∥BC，∠BAD=60 °，过水湿周l₂=AB+BC+CD，若△ABC与梯形ABCD的面积都是S．
（1）分别求l₁和l₂的最小值；
（2）为使流量最大，给出最佳设计方案。

Answer 1

解：（1）在图甲中，设∠ABC=θ，AB=BC=a，则S=a²sinθ，
∵S，a，sinθ均为正值，
∴a=≧．当且仅当sinθ=1，即θ=90°时取等号，
∴l₁=2a≧2；
在图乙中，设AB=CD=m，BC=n，由∠BAD=60°，
可求得：AD=m+n（m＞0，n＞0）．
由S=（n+m+n）m，
解得n=﹣，
∴l₂=2m+n=2m+﹣=+m≧，当且仅当=m，
即m=时取“=“；
（2）由于=＞，则l₂的最小值小于l₁的最小值，故在方案②中当l₂取得最小值时的设计方案为最佳方案．