Question

已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大．现有以下两种设计，其纵断面如图所示，图甲的过水断面为等腰△ABC，AB=BC，过水湿周l₁=AB+BC；图乙的过水断面为等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD，∠BAD=60°，过水湿周l₂=AB+BC+CD．若△ABC和等腰梯形ABCD的面积都是S，
（1）分别求l₁和l₂的最小值；（2）为使流量最大，给出最佳设计方案．

Answer 1

解：（1）在图甲中，设∠ABC=θ，AB=BC=a，
则S=，l₁=2a=2≥，当且仅当θ=90°时，l₁=，
故l₁的最小值为．
在图乙中，设AB=CD=m，BC=n，又由∠BAD=60°，可得AD=m+n，S=（m+n+n）×m，
故n=-．
∴-=+≥，当且仅当=，
即时，l₂=．
故l₂的最小值为2．
（2）由于2＞，故＞，故l₂的最小值小于l₁的最小值．
所以在方案乙中当l₂最小，即时为最佳设计方案．
分析：（1）图甲的过水断面为等腰△ABC，AB=BC，设角ABC，表示出l1和s，图乙的过水断面为等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD，
∠BAD=60°，过水湿周l₂=AB+BC+CD，表示出l₂和s，根据l_1、l₂的表达式求最值；
（2）根据水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大，由（1）比较l_1、l₂的最小值的大小，小的其流量大．
点评：考查根据实际问题抽象函数模型的能力，并能根据模型的解决，指导实际生活中的决策问题，在解模的过程中应用了基本不等式求最值，和借助于三角函数的有界性放缩不等式，属中档题．