Question

已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大．现有以下两种设计，如图甲、图乙．图甲的过水断面为等腰△ABC，AB=BC，过水湿周l₁=AB+BC 图乙的过水断面为等腰梯形ABCD，AB=CD，AD∥BC，∠BAD=60°，过水湿周l₂=AB+BC+CD，若△ABC与梯形ABCD的面积都是S．

（1）分别求l₁和l₂的最小值；
（2）为使流量最大，给出最佳设计方案．

Answer 1

分析：（1）在图甲中，设∠ABC=θ，AB=BC=a，则S=

1

2

a²sinθ，可解得l₁=2a≥2

2S

；在图乙中，设AB=CD=m，BC=n，由∠BAD=60°，可求得：AD=m+n，
由S=

1

2

（n+m+n）•

3

2

m，解得n=

2S

3m

-

m

2

，代入其面积表达式，应用基本不等式即可求得l₂≥2

4	3

•

S

；
（2）由（1）可得l_1min=2

2S

，l_2min=2

4	3

S

，比较

2

与

4	3

的大小即可．

解答：解：（1）在图甲中，设∠ABC=θ，AB=BC=a，则S=

1

2

a²sinθ，
∵S，a，sinθ均为正值，
∴a=

2S sinθ

≥

2S

．
当且仅当sinθ=1，即θ=90°时取等号，
∴l₁=2a≥2

2S

；
在图乙中，设AB=CD=m，BC=n，由∠BAD=60°，可求得：AD=m+n（m＞0，n＞0）．
由S=

1

2

（n+m+n）•

3

2

m，解得n=

2S

3m

-

m

2

，
∴l₂=2m+n=2m+

2S

3m

-

m

2

=

2S

3m

+

3

2

m≥2

3 S

=2

4	3

•

S

，当且仅当

2S

3m

=

3

2

m，即m=

4S 3 3

时取“=“；
（2）由于

2

=

4	4

＞

4	3

，则l₂的最小值小于l₁的最小值，
故在方案②中当l₂取得最小值时的设计方案为最佳方案．

点评：本题基本不等式在最值问题中的应用，着重考查基本不等式，考查综合分析与运算的能力，属于难题．