Question

已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大．现有以下两种设计，如图：  图①的过水断面为等腰△ABC，AB＝BC，过水湿周．图②的过水断面为等腰梯形ABCD，AB＝CD，AD∥BC，∠BAD＝60°，过水湿周．  若△ABC与梯形ABCD的面积都为S，

      
图①                                     图②

（1）分别求和的最小值；  
（2）为使流量最大，给出最佳设计方案．

Answer 1

解：在图①中，设∠，AB＝BC＝a．
则，
由于S、a、皆为正值，可解得．
当且仅当，即＝90°时取等号．
所以，的最小值为．
在图②中，设AB＝CD＝m，BC＝n，由∠BAD＝60°
可求得AD＝m＋n，，
解得．，
的最小值为．
当且仅当，即时取等号．
（2）由于，则的最小值小于的最小值．所以在方案②中当取得最小值时的设计为最佳方案