已知函数f=ax2-bx．=f的单调区间,(Ⅱ)当b=1时.回答下面两个问题:与函数y=g(x)的图象在公共点P处有相同的切线．求实数a的值,与函数y=g(x)的图象有两个不同的交点M.N．过线段MN的中点作x轴的垂线.分别与f的图象交于S.T两点．以S为切点作f(x)的切l1.以T为切点作g(x)的切线l2.是否存在实数a.使得l1∥l2.若存在．求出a� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax²-bx（a≠0）．
（Ⅰ）当b=0时，求函数h（x）=f（x）-g（x）的单调区间；
（Ⅱ）当b=1时，回答下面两个问题：
（i）若函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象在公共点P处有相同的切线．求实数a的值；
（ii）若函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象有两个不同的交点M，N．过线段MN的中点作x轴的垂线，分别与f（x），g（x）的图象交于S，T两点．以S为切点作f（x）的切l₁，以T为切点作g（x）的切线l₂，是否存在实数a，使得l₁∥l₂，若存在．求出a的值；若不存在，请说明理由．

分析（Ⅰ）由题意，h（x）=f（x）-g（x）=lnx-ax²（x＞0），求导可得h′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax=$\frac{1-2a{x}^{2}}{x}$，从而由导数的讨论确定其单调性及单调区间；
（Ⅱ）（i）设函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象的公共点P（x₀，y₀），则有lnx₀=ax₀²-x₀，f′（x₀）=g′（x₀），从而可得lnx₀=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$x₀；再令H（x）=lnx-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$x，H′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2}$＞0；从而求a；
（ii）不妨设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）且x₁＞x₂，则MN中点的坐标为（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）；从而写出切线的斜率k₁=f′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，k₂=g′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=a（x₁+x₂）-1，从而如果存在a使得k₁=k₂，$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=a（x₁+x₂）-1，再结合lnx₁=ax₁²-x₁和lnx₂=ax₂²-x₂得ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{2（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1）}{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1}$；设u=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1，则有lnu=$\frac{2（u-1）}{u+1}$，（u＞1）；从而可确定满足条件的实数a并不存在．

解答解：（Ⅰ）由题意，h（x）=f（x）-g（x）=lnx-ax²（x＞0），
所以，h′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax=$\frac{1-2a{x}^{2}}{x}$，
所以，当a≤0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，$\sqrt{\frac{1}{2a}}$），单调减区间为（$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，+∞）．
（Ⅱ）（i）设函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象的公共点P（x₀，y₀），则有
lnx₀=ax₀²-x₀，①
又在点P有共同的切线，
∴f′（x₀）=g′（x₀），
即$\frac{1}{{x}_{0}}$=2ax₀-1，
即a=$\frac{1+{x}_{0}}{2{x}_{0}^{2}}$代入①得
lnx₀=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$x₀；
设H（x）=lnx-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$x，H′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2}$＞0；
所以函数H（x）最多只有1个零点，观察得x₀=1是零点．
∴a=1，此时P（1，0）．
（ii）不妨设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）且x₁＞x₂，则MN中点的坐标为（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）；
以S为切点的切线l₁的斜率k₁=f′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
以T为切点的切线l₂的斜率k₂=g′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=a（x₁+x₂）-1，
如果存在a使得k₁=k₂，$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=a（x₁+x₂）-1，①
而且有lnx₁=ax₁²-x₁和lnx₂=ax₂²-x₂，
如果将①的两边乘x₁-x₂得并简可得，
$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=ax₁²-x₁-（ax₂²-x₂）=lnx₁-lnx₂=ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，
即，ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{2（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1）}{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1}$；
设u=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1，则有lnu=$\frac{2（u-1）}{u+1}$，（u＞1）；
考察F（u）=lnu-$\frac{2（u-1）}{u+1}$，（u＞1）的单调性不难发现，
F（u）在[1，+∞）上单调递增，故F（u）＞F（1）=0，
所以，满足条件的实数a并不存在．