Question

（2012•甘谷县模拟）（理） 设数列{a_n}为正项数列，其前n项和为S_n，且有a_n，s_n，

a

2 n

成等差数列．（1）求通项a_n；（2）设f(n)=

sn

(n+50)sn+1

求f（n）的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据a_n，s_n，

a

2 n

成等差数列，可得2S_n=a_n+

a

2 n

，再写一式，两式相减，可得{a_n}是公差为1的等差数列，从而可求通项a_n；
（2）由（1）知，Sn=

n(n+1)

2

，从而f(n)=

Sn

(n+50)Sn+1

=

1

n+ 100 n +52

，利用基本不等式，即可求f（n）的最大值．

解答：解：（1）∵a_n，s_n，

a

2 n

成等差数列
∴2S_n=a_n+

a

2 n

，
∴n≥2时，2S_n-1=a_n-1+

a

2 n-1

，
两式相减得：2a_n=a_n²+a_n-

a

2 n-1

-a_n-1，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0
∵数列{a_n}为正项数列，∴a_n-a_n-1=1
即{a_n}是公差为1的等差数列
又2a₁=a₁²+a₁，∴a₁=1
∴a_n=1+（n-1）×1=n；
（2）由（1）知，Sn=

n(n+1)

2

，
∴f(n)=

Sn

(n+50)Sn+1

=

n

n2+52n+100

=

1

n+ 100 n +52

≤

1

72

当且仅当n=10时，f（n）有最大值

1

72

．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，解题的关键是确定数列为等差数列，利用基本不等式求最值．