Question

（2012•甘谷县模拟）（文）数列{a_n}满足an+1=

n+2

n

an（n∈N^*），且a₁=1．（1）求通项a_n；（2）记bn=

1

an

，数列{b_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

分析：（1）由∴

an+1

an

=

n+2

n

，利用叠乘法可求数列的通项
（2）由bn=

1

an

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，利用裂项相消法可求数列的和

解答：解（1）∵an+1=

n+2

n

an，
∴

an+1

an

=

n+2

n

∵a₁=1
∴

a2

a1

=

3

1

，

a3

a2

=

4

2

…

an

an-1

=

n+1

n-1

以上n-1个式子相乘可得，

a2

a1

•

a3

a2

…

an

an-1

=

3

1

×

4

2

×

5

3

…

n-1

n-3

×

n

n-2

×

n+1

n-1

∴

an

a1

=

n(n+1)

1×2

∴a_n=

n(n+1)

2

（2）∵bn=

1

an

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)
S_n=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

点评：本题主要考查了数列的通项公式求解中的叠乘法及数列求和的裂项相消法的应用．