Question

已知函数f（x）=

1

3

x3+x²+ax．
（1）当a=-3时，求f（x）的极值；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）设f（x）有两个极值点x₁，x₂，若过两点（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂））的直线l与轴的交点在曲线y=f（x）上，求a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,压轴题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）当a=-3时，化简f（x）=

1

3

x3+x²-3x，从而求导f′（x）=x²+2x-3=（x+3）（x-1）；从而求极值；
（2）求导f′（x）=（x+1）²+a-1；从而讨论a以确定导数的正负以确定函数的单调性；
（3）由题设知x₁，x₂是f′（x）=0的两个根，从而可得a＜1，且

x

2 1

=-2x₁-a，

x

2 2

=-2x₂-a；从而可得f（

a

2(a-1)

）=

1

3

（

a

2(a-1)

）³+（

a

2(a-1)

）²+a

a

2(a-1)

=

a2

24(a-1)3

（12a²-17a+6）；从而解得．

解答： 解：（1）当a=-3时，f（x）=

1

3

x3+x²-3x，
则f′（x）=x²+2x-3=（x+3）（x-1）；
令f′（x）=0得，x=-3或x=1；

x	（-∞，-3）	-3	（-3，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	9	减	- 5 3	增

当x=-3时，f（x）的极大值为9，当x=1时，f（x）的极小值为-

5

3

．
（2）∵f′（x）=（x+1）²+a-1；
①当a≥1时，f′（x）≥0，f（x）是R上的增函数，
②当a＜1时，f′（x）=0有两个根，x₁=-1-

1-a

，x₂=-1+

1-a

；
当x＜x₁，x＞x₂时，f′（x）＞0；
故f（x）的单调增区间为
（-∞，-1-

1-a

），（-1+

1-a

，+∞）；
当x₁＜x＜x₂时，f′（x）＜0；
故f（x）的单调减区间为（-1-

1-a

，-1+

1-a

）；
（3）由题设知，x₁，x₂是f′（x）=0的两个根，
∴a＜1，且

x

2 1

=-2x₁-a，

x

2 2

=-2x₂-a；
∴f（x₁）=

1

3

x₁³+x₁²+ax₁=

1

3

x₁（-2x₁-a）+x₁²+ax₁
=

1

3

x₁²+

2

3

ax₁=

2

3

（a-1）x₁-

a

3

，
同理，f（x₂）=

2

3

（a-1）x₂-

a

3

，
则直线l的解析式为y=

2

3

（a-1）x-

a

3

；
设直线l与x轴的交点为（x₀，0），
则0=

2

3

（a-1）x₀-

a

3

，
解得，x₀=

a

2(a-1)

；
代入f（x）=

1

3

x3+x²+ax得，
f（

a

2(a-1)

）=

1

3

（

a

2(a-1)

）³+（

a

2(a-1)

）²+a

a

2(a-1)

=

a2

24(a-1)3

（12a²-17a+6）；
∵（x₀，f（x₀））在x轴上，f（x₀）=

a2

24(a-1)3

（12a²-17a+6）=0，
解得，a=0或a=

2

3

或a=

3

4

．

点评：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的数学思想应用，属于难题．