Question

7．已知命题
p₁：设函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0），且f（1）=-a，则f（x）在[0，2]上必有零点；
p₂：设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充分不必要条件．
则在命题q₁：p₁∨p₂，q₂：p₁∧p₂，q₃：（￢p₁）∨p₂和q₄：p₁∧（￢p₂）中，真命题是（　　）

• A． q₁，q₃
• B． q₂，q₃
• C． q₁，q₄
• D． q₂，q₄

Answer 1

分析 根据条件分别判断命题p₁和p₁的真假性，根据复合命题真假关系进行判断即可．

解答 解：p₁：设函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0），
则f（1）=-a＜0，
则函数与x轴一定有两个交点，则判别式△=b²-4ac＞0，
且a+b+c=-a，即c=-b-2a，
∵f（0）=c=-b-2a，
f（2）=4a+2b+c=4a+2b-b-2a=2a+b，
则f（0）f（2）=（-b-2a）（2a+b）=-（b+2a）²≤0，则则f（x）在[0，2]上必有零点，
故命题p₁为真命题．
p₂：设f（x）=x|x|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，}&{x≥0}\\{-{x}^{2}，}&{x＜0}\end{array}\right.$，
由二次函数的单调性可得函数f（x）为增函数，
则若a＞b，则f（a）＞f（b），即a|a|＞b|b|，反之也成立，
即“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充分必要条件，故命题p₂为假命题．
则q₁：p₁∨p₂，为真命题．
q₂：p₁∧p₂，为假命题．
q₃：（￢p₁）∨p₂为假命题．
q₄：p₁∧（￢p₂）为真命题．
故选：C

点评 本题主要考查命题真假性的判断，根据条件判断p₁和p₁的真假性是解决本题的关键．