Question

16．设x+y+z=1，求F=2x²+3y²+z²的最小值．

Answer 1

分析 由题意，利用已知条件，构造出所求表达式相关的柯西不等式，由柯西不等式求出其最小值．

解答 解：由题意，
因为x+y+z=1，
所以（x+y+z）²=1，
所以1=（x+y+z）²=（$\frac{1}{\sqrt{2}}•\sqrt{2}$x+$\frac{1}{\sqrt{3}}•\sqrt{3}$y+1•z）²≤（$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+1$）（2x²+3y²+z²）
所以F=2x²+3y²+z²≥$\frac{6}{11}$，当且仅当$\frac{\sqrt{2}x}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{3}y}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{z}{1}$且x+y+z=1，即x=$\frac{3}{11}$，y=$\frac{2}{11}$，z=$\frac{6}{11}$时，取“=”，
所以F的最小值为$\frac{6}{11}$．

点评 本题利用了柯西不等式，解题关键在于需要学生构造出柯西不等式的模型求解，也是本题的难点，在利用不等式时要特别注意取等条件．