Question

数列{a_n}的前n项和是S_n，且．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记，数列的前n项和为T_n，证明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，先分别令n=1，2，3，求出a₁=，a₂=，a₃=．由此猜想a_n=．再用数学归纳法证明．
（2）由a_n=，知==-2n，故===（），由此利用裂项求和法能够证明数列的前n项和T_n＜．
解答：解：（1）∵，
∴=1，解得a₁=．
=1，解得a₂=，
，解得a₃=．
由此猜想a_n=．
用数学归纳法证明：
①当n=1时，a₁=，成立；
②假设n=k时成立，即，
则当n=k+1时，+=1，
∴=，解得，也成立．
∴a_n=．
（2）∵a_n=，
∴==-2n，
∴===（），
∵数列的前n项和为T_n，
∴T_n=[（1-）+（）+（）+…+（）+（）+（）]
=（1+--）
=--＜．
故．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，注意数学归纳法和裂项求和法的合理运用．