Question

【题目】函数,则在的最大值（ ）

A. B.

C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】f′(x)=x2kx=x(2k)，

令f′(x)=0得x=0或x=ln2k，

令g(k)=kln2k,则g′(k)=1<0

∴g(k)在(,1]上是减函数,∴g(k)g(1)=1ln2>0，

∴k>ln2k，

∴f(x)在[0,ln2k]上单调递减,在(ln2k,k]上单调递增，

∴f(x)的最大值为f(0)或f(k).

f(k)f(0)=(k1)ekk3+1=(k1)(ekk2k1)，

令h(x)=ekk2k1,则h′(k)=ek2k1,h′′(k)=ek2，

令h″(k)=0得k=ln2，

∴h′(k)在(,ln2)上单调递减,在(ln2,1]上单调递增，

∵h′()=2<0,h′(1)=e3<0，

∴h′(k)<0在(,1]上恒成立，

∴h(k)在(,1]上是减函数,∴h(k)<h()=<0，

∴f(k)f(0)，

∴f(x)的最大值为f(k)=(k1)ekk3，

故选D.

方法	步骤
单调性法	先确定函数的单调性，再由单调性求最值
图象法	先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值
基本不等式法	先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值
导数法	先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值
换元法	对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值