题目内容

数列{a_n} （n∈N^*）为递减的等比数列，且a₁和a₃为方程log_m（5x-4x²）=0（m＞0且m≠1）的两个根．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n= $数学公式$ ，求数列{b_n}的前n项和S_n．

解：（1）方程log_m（5x-4x²）=0（m＞0且m≠1）即 5x-4x²=1，即4x²-5x+1=0．
利用韦达定理可得a₁+a₃= $\text{[math]}$ ，a₁•a₃= $\text{[math]}$ ．再由数列{a_n} （n∈N^*）为递减的等比数列可得a₁=1，a₃= $\text{[math]}$ ，故公比为 $\text{[math]}$ ．
∴a_n= $\text{[math]}$ ．
（2）∵b_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）．
∴数列{b_n}的前n项和S_n= $\text{[math]}$ [（1- $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）方程即4x²-5x+1=0，利用韦达定理可得a₁+a₃= $\text{[math]}$ ，a₁•a₃= $\text{[math]}$ ．再由数列{a_n}为递减的等比数列可得a₁=1，a₃= $\text{[math]}$ ，可得公比的值，从而求得数列{a_n}的通项公式．
（2）数列{b_n}的通项 b_n= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），用裂项法求出数列{b_n}的前n项和S_n的值．
点评：本题主要考查对数的运算性质、等比数列的通项公式，用裂项法对数列进行求和，属于中档题．