Question

数列{a_n}（n∈N^*）中，a₁=1，且点（a_n，a_n+1）在直线l：2x-y+1=0上．
（Ⅰ）设b_n=a_n+1，求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）设c_n=n（3a_n+2），求{c_n}的通项公式；
（Ⅲ）T_n是{c_n}的前n项和，试比较2T_n与23n²-13n的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，可求得

bn+1

bn

=2，b₁=2，从而可证数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a_n=b_n-1=2ⁿ-1，而c_n=n（3a_n+2），从而可求{c_n}的通项公式；
（Ⅲ）依题意，T_n=3（2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ）-（1+2+3+…+n），设S_n=2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，利用错位相减法可求得S_n，从而可求T_n；令I=2T_n-（23n²-13n）
分n=1，n=2及n≥3讨论，最后利用数学归纳法证明n≥3时，2T_n＞23n²-13n即可．

解答：（I）证明：∵点（a_n，a_n+1）在直线l：2x-y+1=0上，
∴a_n+1=2a_n+1，
∴b_n+1=a_n+1+1=2a_n+2…2…（2分）
∵b_n=a_n+1≠0，
∴

bn+1

bn

=

2(an+1)

an+1

=2，
∴数列{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列…（4分）
（II）解：由（Ⅰ）知，a_n=b_n-1=2ⁿ-1…（6分）
∴C_n=n[3（2ⁿ-1）+2]=n（3•2ⁿ-1）=3n•2ⁿ-n…（8分）
（III）T_n=3（2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ）-（1+2+3+…+n），
设S_n=2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，＜1＞
则2S_n=2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，＜2＞
＜2＞-＜1＞得：S_n=-2-2²-2³-…-2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
=-

2(1-2n)

1-2

+n•2ⁿ⁺¹
=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
∴T_n=3[（n-1）•2ⁿ⁺¹+2]-

n(n+1)

2

…（10分）
∴I=2T_n-（23n²-13n）
=12（n-1）•2ⁿ-12（n-1）（2n+1）
=12n（n-1）（2ⁿ-2n-1）
当n=1时，2T_n=23n²-13n；…（11分）
n=2时，2T_n＜23n²-13n；…（12分）
n≥3时，I＞0，
∴2T_n＞23n²-13n…（13分）
用数学归纳法证明如下：
（1）n=3时，I=24＞0，
（2）假设n=k（k≥3，k∈N^*）时成立，即I=12（k-1）（2^k-2k-1）＞0，
即2^k＞2k+1；
当n=k+1时，I=12（k+1-1）[2^k+1-2（k+1）-1]
=12k（2•2^k-2k-3）
＞12k[2（2k+1）-2k-3]=12k（2k-1），
∵k≥3，
∴I＞0．
综上可知，n≥3时，I＞0，∴2T_n＞23n²-13n．…（14分）
综上可知，当n=1时，2T_n=23n²-13n；
n=2时，2T_n＜23n²-13n；
n≥3时，2T_n＞23n²-13n…（15分）

点评：本题考查数列的求和，着重考查等比数列的确定，突出考查错位相减法求和与数学归纳法，考查推理与证明，属于难题．