Question

设数列{a_n}前n项和S_n=Aqⁿ+B，则A+B=0是使{a_n}成为公比不等于1的等比数列的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．即不充分也不必要条件

Answer 1

分析：已知{a_n}成为公比不等于1的等比数列，可得出A+B=0，推断A+B=0是使{a_n}成为公比不等于1的等比数列的必要条件；数列{a_n}前n项和S_n=Aqⁿ+B，A+B=0，得到⇒{a_n}成为公比不等于1的等比数列，可推断A+B=0是使{a_n}成为公比不等于1的等比数列的充分条件．从而得出正确答案．

解答：解：（1）已知{a_n}成为公比不等于1的等比数列，则
Sn=

a 1(1-q n)

1-q

=

a 1

1-q

-

a 1q n

1-q

，比照S_n=Aqⁿ+B，得
A=

a 1

1-q

，B=-

a 1

1-q

故A+B=0，
（2）若已知：数列{a_n}前n项和S_n=Aqⁿ+B，A+B=0，则
a₁=S₁=Aq+B=A（q-1），
n＞1时 an=Sn-S_n-1=aAqⁿ+B-[Aq^n-1+B]=Aq^n-1（q-1），
⇒{a_n}成为公比不等于1的等比数列．
故A+B=0是使{a_n}成为公比不等于1的等比数列的充要条件．
故选C．

点评：本小题主要考查必要条件、充分条件与充要条件的判断、等比数列等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．