Question

已知不等式

1

x

+

a

y

≥

16

x+y

对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为______．

Answer 1

∵不等式

1

x

+

a

y

≥

16

x+y

对任意正实数x，y恒成立，
∴(x+y)(

1

x

+

a

y

)min≥16对于任意正实数x，y恒成立
∵(x+y)(

1

x

+

a

y

)=1+

y

x

+

ax

y

+a≥1+a+2

a

，
∴1+a+

a

≥16    
即(

a

+5)(

a

-3)≥0，又a＞0，
从而

a

≥3∴amin=9．
故答案为：9