Question

已知不等式

1

x

+

a

y

≥

16

x+y

对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为

9

．

Answer 1

分析：由题设知(x+y)(

1

x

+

a

y

)min≥16对于任意正实数x，y恒成立，所以1+a+

a

≥16，由此能求出正实数a的最小值．

解答：解：∵不等式

1

x

+

a

y

≥

16

x+y

对任意正实数x，y恒成立，
∴(x+y)(

1

x

+

a

y

)min≥16对于任意正实数x，y恒成立
∵(x+y)(

1

x

+

a

y

)=1+

y

x

+

ax

y

+a≥1+a+2

a

，
∴1+a+

a

≥16    
即(

a

+5)(

a

-3)≥0，又a＞0，
从而

a

≥3∴amin=9．
故答案为：9

点评：本题考查不等式的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．