Question

△ABC的角A、B、C所对的边分别记作a、b、c，已知a、b、c成等差数列，且a=4，cosC=．
（Ⅰ）求b、c的值；       
（Ⅱ）求证：C=2A．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由a、b、c成等差数列，设公差为d，则b=4+d，c=4+2d．在△ADC中，由余弦定理可得d²+3d-4=0，d=1或d=-4．经检验d=1，此时，b=5，c=6．
（Ⅱ）利用余弦定理求得cosA的值，再根据=cosC，且A、C是三角形的内角，可得C=2A．
解答：（Ⅰ）解：∵a、b、c成等差数列，设公差为d，则b=4+d，c=4+2d．
在△ADC中，由余弦定理，得c²=a²+b²-2abcosC，∴．
化简，得d²+3d-4=0，d=1或d=-4．
当d=-4时，b=4+d=0，不合题意，舍去；
∴d=1，此时，b=5，c=6．
（Ⅱ）证明：∵，
又=cosC，
∴cosC=cos2A，∵A、C是三角形的内角，∴C=2A．
点评：本题主要考查等差数列的定义、通项公式的应用、余弦定理、二倍角公式的应用，属于中档题．