Question

已知△ABC的角A、B、C，所对的边分别是a、b、c，且C=

π

3

，设向量

m

=(a，b)，

n

(sinB，sinA)，

p

=(b-2，a-2)．
（1）若

m

∥

n

，求B；
（2）若

m

⊥

p

，S_△ABC=

3

，求边长c．

Answer 1

分析：（1）由

m

∥

n

，利用两个向量平行的性质可得asinA=bsinB，再由正弦定理可得 a²=b²，故a=b．再由C=

π

3

，可得△ABC为等边三角形，可得B的值．
（2）由

m

⊥

p

，可得

m

•

p

=0，化简可得 a+b=ab．由S_△ABC=

3

，可得ab=4．再由余弦定理求得 c²的值，从而得到c的值．

解答：证明：（1）∵

m

∥

n

，

m

=(a，b)，

n

(sinB，sinA)，

p

=(b-2，a-2)，
∴asinA=bsinB，再由正弦定理可得 a²=b²，∴a=b．
又C=

π

3

，∴△ABC为等边三角形，故B=

π

3

．
（2）∵

m

⊥

p

，∴

m

•

p

=ab-2a+ab-2b=0，化简可得 a+b=ab ①．
由S_△ABC=

3

，可得

1

2

ab•sinC=

1

2

ab×

3

2

=

3

，∴ab=4 ②．
再由余弦定理可得 c²=a²+b²-2ab•cosC=（a+b）²-3ab=16-12=4，故 c=2．

点评：本题主要考查两个向量平行和垂直的性质，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．