Question

已知△ABC的角A，B，C所对的边a，b，c，且acosC+

1

2

c=b．
（1）求角A的大小；
（2）若a=1，求b+c的最大值并判断这时三角形的形状．

Answer 1

分析：（1）由正弦定理得sinAcosC+

1

2

sinC=sinB，化简可得

1

2

sinC=cosAsinC，所以

1

2

=cosA，求得A的值．
（2）由余弦定理、基本不式可得（b+c）²≤4，可得b+c的最大值为2，当且仅当a=b=c=1时有最大值，由此可得三角形的形状．

解答：解：（1）由正弦定理得sinAcosC+

1

2

sinC=sinB，所以sinAcosC+

1

2

sinC=sin(A+C)，
化简可得

1

2

sinC=cosAsinC，所以

1

2

=cosA，求得A=

π

3

．…（6分）
（2）由余弦定理得1=b2+c2-2bc×

1

2

=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-3(

b+c

2

)2，
所以（b+c）²≤4，所以b+c的最大值为2，当且仅当a=b=c=1时有最大值，
这时△ABC为正三角形．…（12分）．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．