Question

12．已知直角梯形ABEF，∠A=∠B=90°，AB=1，BE=2，AF=3，C为BE的中点，AD=1，如图（1），沿直线CD折成直二面角，连结部分线段后围成一个空间几何体（如图2）
（1）求异面直线BD与EF所成角的大小．
（2）设AD的中点为G，求二面角G-BF-E的余弦值．
（3）求过A、B、C、D、E这五个点的球的表面积．

Answer 1

分析 （1）以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．利用cos$＜\overrightarrow{DB}，\overrightarrow{EF}＞$=$\frac{\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{EF}}{|\overrightarrow{DB}||\overrightarrow{EF}|}$，即可得出．
（2）$G（\frac{1}{2}，0，0）$，设平面$\overrightarrow{BEF}$的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BF}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{GF}=0}\end{array}\right.$，可得平面GBF的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（4，-2，1），同理可得平面BEF的法向量$\overrightarrow{n_1}=（1，1，1）$．利用cos$＜\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}＞$=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$，即可得出．
（3）连接AE，取中点为O，连接OA，OB，OC，OD，OE，由已知易得OA=OB=OC=OD=OE，可得DO长为所求球的半径．

解答 解：（1）以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），E（0，1，1），F（0，0，2）．
$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{EF}$=（0，-1，1），cos$＜\overrightarrow{DB}，\overrightarrow{EF}＞$=$\frac{\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{EF}}{|\overrightarrow{DB}||\overrightarrow{EF}|}$=$\frac{1}{2}$，
∴异面直线BD与EF所成角为$\frac{π}{3}$．
（2）$G（\frac{1}{2}，0，0）$，
设平面$\overrightarrow{BEF}$的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{BF}$=（1，1，-2），$\overrightarrow{GF}$=$（-\frac{1}{2}，0，2）$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BF}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{GF}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2z=0}\\{-\frac{1}{2}x+2z=0}\end{array}\right.$，
取平面GBF的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（4，-2，1），
同理可得平面BEF的法向量$\overrightarrow{n_1}=（1，1，1）$．
cos$＜\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}＞$=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
∵二面角G-BF-C与两向量的夹角互补，
∴二面角G-BF-C的余弦值为：$-\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．
（3）连接AE，取中点为O，连接OA，OB，OC，OD，OE，
由已知易得OA=OB=OC=OD=OE，∴DO长为所求球的半径．
O$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{DO}$=$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，∴r=$|\overrightarrow{DO}|$=$\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴S_{球的表面积}=4πr²=3π．

点评 本题考查了空间位置关系、空间角、法向量的应用、向量夹角公式、球的表面积、直角三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．