Question

【题目】如图，在各棱长均为的三棱柱中，侧面底面， .

（1）求侧棱与平面所成角的正弦值的大小；

（2）已知点满足，在直线上是否存在点，使平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）恰好为点.

【解析】【试题分析】（1）作于点，得平面.由此以为坐标原点建立空间直角坐标系，通过计算直线的方向向量和平面的法向量，来求得直线与平面所称角的正弦值.（2）假设存在点符合题意，设点的坐标为.结合直线的方向向量和平面的法向量垂直，且，可求得点的坐标.

【试题解析】

解：（1）∵侧面底面，作于点，

∴平面.

又，且各棱长都相等，

∴， ， .

故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，

， ， ， ，

∴， ， .

设平面的法向量为，

则，解得.由.

而侧棱与平面所成角，即是向量与平面的法向量所成锐角的余角，

∴侧棱与平面所成角的正弦值的大小为.

（2）∵，而， ，

∴，又∵，∴点的坐标为.

假设存在点符合题意，则点的坐标可设为，∴.

∵平面， 为平面的法向量，

∴由，得，∴.

又平面，故存在点，使平面，其坐标为，

即恰好为点.