题目内容
已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C2：
的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x2+y2=1上．
（1）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；
（2）过点F的直线交抛物线C1于A、B两不同点，交y轴于点N，已知
，求证：λ1+λ2为定值．
（3）直线l交椭圆C2于P、Q两不同点，P、Q在x轴的射影分别为P'、Q'，
，若点S满足：
，证明：点S在椭圆C2上．
的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x2+y2=1上．（1）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；
（2）过点F的直线交抛物线C1于A、B两不同点，交y轴于点N，已知
，求证：λ1+λ2为定值．（3）直线l交椭圆C2于P、Q两不同点，P、Q在x轴的射影分别为P'、Q'，
，若点S满足：，证明：点S在椭圆C2上．（1）解：由C1：y2=2px（p＞0）焦点F（
，0）在圆O：x2+y2=1上得：
，
∴p=2
∴抛物线C1：y2=4x
同理由椭圆C2：
的上、下焦点（0，c），（0，﹣c）及左、右顶点（﹣b，0），（b，0）均在圆O：x2+y2=1上可解得：b=c=1，a=
∴椭圆C2：
（2）证明：设直线AB的方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），则N（0，﹣k）直线与抛物线联立，消元可得
k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0
∴x1+x2=
，x1x2=1
∵
∴λ1（1﹣x1）=x1，λ2（1﹣x2）=x2
∴
，
∴λ1+λ2=
为定值；
（3）证明：设P（x3，y3），Q（x4，y4），则P'（x3，0），Q'（x4，0），
∵
，
∴S（x3+x4，y3+y4）
∵
∴2x3x4+y3y4=﹣1①
∵P，Q在椭圆上，
∴
②，
③
由①+②+③得（x3+x4）2+
=1
∴点S在椭圆C2上
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