题目内容

已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C2：
y2
a2
+
y2
b2
=1，(a＞b＞0)的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x2+y2=1上．
（Ⅰ）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；
（Ⅱ）过点F的直线交抛物线C1于A、B两不同点，交y轴于点N，已知
NA
=λ1
AF
， 
NB
 =λ2
BF
，求证：λ1+λ2为定值．
（Ⅲ）直线l交椭圆C2于P、Q两不同点，P、Q在x轴的射影分别为P'、Q'，
OP
•
OQ
+
OP′
•
OQ′
 +1=0，若点S满足：
OS
= 
OP
 +
OQ
，证明：点S在椭圆C2上．
分析：（Ⅰ）由C1：y2=2px（p＞0）焦点F（
p
2
，0）在圆O：x2+y2=1上，可求p的值；同理由椭圆的上、下焦点（0，c），（0，-c）及左、右顶点（-b，0），（b，0）均在圆O：x2+y2=1上可解得椭圆C2的方程；
（Ⅱ）设直线AB的方程与抛物线联立，消元，利用韦达定理，结合
NA
=λ1
AF
， 
NB
 =λ2
BF
，从而可求λ1、λ2的值，即可得证；
（Ⅲ）设P，Q的坐标，利用
OS
= 
OP
 +
OQ
，确定S的坐标，利用
OP
•
OQ
+
OP′
•
OQ′
 +1=0及P，Q在椭圆上，即可证得结论．
解答：（Ⅰ）解：由C1：y2=2px（p＞0）焦点F（
p
2
，0）在圆O：x2+y2=1上得：
p2
4
=1，∴p=2
∴抛物线C1：y2=4x…（2分）
同理由椭圆C2：
x2
a2
+
y2
b2
=1，(a＞b＞0)的上、下焦点（0，c），（0，-c）及左、右顶点（-b，0），（b，0）均在圆O：x2+y2=1上可解得：b=c=1，a=
2

∴椭圆C2：x2+
y2
2
=1
（Ⅱ）证明：设直线AB的方程为y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），则N（0，-k）
直线与抛物线联立，消元可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0
∴x1+x2=
2k2+4
k2
，x1x2=1
∵
NA
=λ1
AF
， 
NB
 =λ2
BF

∴λ1（1-x1）=x1，λ2（1-x2）=x2
∴λ1=
x1
1-x1
，λ2=
x2
1-x2

∴λ1+λ2=
(x1+x2)-2x1x2
1-(x1+x2)+x1x2
=-1为定值；
（Ⅲ）证明：设P（x3，y3），Q（x4，y4），则P′（x3，0），Q′（x4，0），
∵
OS
= 
OP
 +
OQ
，∴S（x3+x4，y3+y4）
∵
OP
•
OQ
+
OP′
•
OQ′
 +1=0
∴2x3x4+y3y4=-1①
∵P，Q在椭圆上，∴
x
2
3
+
y
2
3
2
=1②，
x
2
4
+
y
2
4
2
=1③
由①+②+③得（x3+x4）2+
(y3+y4)2
2
=1
∴点S在椭圆C2上
点评：本题考查抛物线与椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是联立方程，利用向量知识求解．
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p
2
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p2
4
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AB
•
CD
的值为
p2
4
p2
4
．
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2
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