Question

【题目】已知曲线.

（1）用函数的形式表示曲线；

（2）若直线与曲线有两个公共点，求实数的取值范围；

（3）若点的坐标为，为曲线上的点，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）； （3）.

【解析】

（1）由曲线，当时，得到，当时，得，即可求解；

（2）根据直线与圆的位置关系，以及直线与双曲线的位置关系，结合图象，即可求解；

（3）分别求得当和时，的最小值，即可求解.

（1）由题意，曲线，

当时，曲线，则，其中；

当时，曲线，则，其中，

所以函数的解析式为 .

（2）若直线与曲线有两个公共点，

则圆心到直线的距离满足，解得，

若直线与曲线和各有一个公共点，

其中曲线的渐近线的方程为，

则由图象可得，

所以实数的取值范围是.

（3）当时，，

由得，当时，，

当时，，

当时，，

又由，所以的最小值为.