Question

【题目】在四棱锥P–ABCD中，，．

（1）设AC与BD相交于点M，，且平面PCD，求实数m的值；

（2）若，，，且，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）

（2）

【解析】

（1）由AB∥CD，得到，由MN∥平面PCD，得MN∥PC，从而，由此能实数m的值；

（2）由AB＝AD，∠BAD＝60°，知△ABD为等边三角形，推导出PD⊥DB，PD⊥AD，从而PD⊥平面ABCD，以D为坐标原点，的方向为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系，由此能求出二面角B﹣PC﹣B的余弦值．

解：（1）因为，所以，即.

因为平面PCD，平面PAC，平面平面，

所以．

所以，即.

（2）因为，，可知为等边三角形，

所以，又，

故，所以．

由已知，，所以平面ABCD，

如图，以D为坐标原点，的方向为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系，

设，则，，

所以，，，，

则，，

设平面PBC的一个法向量为，则有

即.

令，则，即，

设平面APC的一个法向量为，则有

，即

令，则，即．

所以

设二面角的平面角为，则.