Question

【题目】对于函数y=f(x),x∈D，若存在闭区间[a，b]和常数C，使得对任意x∈[a，b]都有f(x)=C，称f(x)为“桥函数”.

（1）作出函数的图象，并说明f(x)是否为“桥函数”？（不必证明）

（2）设f(x)定义域为R，判断“f(x)为奇函数”是“为’桥函数’”的什么条件？给出你的结论并说明理由;

（3）若函数是“桥函数”，求常数m、n的值.

Answer 1

【答案】（1）图象见解析，f(x)为“桥函数”；（2）充分不必要（3）或

【解析】

（1）根据绝对值定义化简函数，再作图，最后根据“桥函数”定义进行判断；

（2）根据“桥函数”定义说明充分性成立，举反例说明必要性不成立；

（3）根据“桥函数”定义列等式，再根据恒成立解m、n的值.

（1）

图象为

存在闭区间[3，4]和常数2，使得对任意x∈[3，4]都有f(x)=2，所以f(x)为“桥函数”

（2）f(x)为R上奇函数，则，即存在闭区间[3，4]和常数0，使得对任意x∈[3，4]都有f(x)=0，所以为“桥函数”,

为“桥函数”时f(x)不一定为奇函数，如

因此“f(x)为奇函数”是“为’桥函数’”的充分不必要条件

（3）因为是“桥函数”，

所以存在闭区间[a，b]和常数C，使得对任意x∈[a，b]都有g(x)=C，

即,即

所以

即或，或