Question

5．如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=3，AC=4，B₁C⊥AC₁．
（1）求AA₁的长．
（2）在线段BB₁存在点P，使得二面角P-A₁C-A大小的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求$\frac{BP}{{BB}_{1}}$的值．

Answer 1

分析 （1）建立空间直角坐标系，根据直线垂直的性质定理进行求解即可．
（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量法进行求解．

解答 解：（1）以AB，AC，AA₁ 所在直线为x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA₁=t，
则A（0，0，0），C₁（0，4，t），B₁（3，0，t），C（0，4，0），
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（0，4，t），$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-3，4，-t），
∵B₁C⊥AC₁，∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=0，即16-t²=0，解得t=4，即AA₁的长为4．     …3分                            
（2）设P（3，0，m），
又A（0，0，0），C（0，4，0），A₁（0，0，4）
，$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（0，4，-4），$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=（3，0，m-4），且0≤m≤4，
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面A₁CA的法向量   
∴$\overrightarrow{n}$$•\overrightarrow{{A}_{1}C}$=0，$\overrightarrow{n}$$•\overrightarrow{{A}_{1}P}$=0，
即$\left\{\begin{array}{l}{4y-4z=0}\\{3x+（m-4）z=0}\end{array}\right.$，取z=1，解得y=1，x=$\frac{4-m}{3}$，
∴$\overrightarrow{n}$=（$\frac{4-m}{3}$，1，1）为平面PA₁C的一个法向量．                         …6分
又知$\overrightarrow{AB}$=（3，0，0）为平面A₁CA的一个法向量，
则cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AB}$＞=$\frac{4-m}{3•\sqrt{1+1+（\frac{4-m}{3}）^{2}}}$
∵二面角 大小的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴$\frac{4-m}{3•\sqrt{1+1+（\frac{4-m}{3}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得m=1，
∴$\frac{BP}{{BB}_{1}}$=$\frac{1}{4}$：…10分

点评 本小题主要考直线垂直的应用和二面角的求解，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，综合性较强，运算量较大．