Question

【题目】已知数列的前项和满足：，数列满足：对任意有.

（1）求数列与数列的通项公式；

（2）记，数列的前项和为，证明：当时，．

Answer 1

【答案】（1），（2）证明见解析.

【解析】

（1）本小题考察与的关系，当时利用得到，得到数列是以，公比的等比数列，得出的通项公式，而当时，根据得到，需要验证时的值；（2）根据（1）得到，可以知道用错位相减法求的前项和，得到，令=，利用函数的单调性即可证得结论.

（1）当时，，所以，

当时，，

所以数列是以，公比的等比数列，通项公式为.

由题意有，得.

当时，

，于是得,故数列的通项公式为．

（2） 证明：==，所以=，

错位相减得=，所以，

即，

下证：当时，，令=，==

当时，，即当时，单调减，又，

所以当时，，即，即当时，.