Question

5．已知函数f₁（x）=$\frac{x}{x+3}$，（x＞0），对于n∈N^*，定义f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，则函数f_n（x）的值域为（0，$\frac{2}{{3}^{n}-1}$）．

Answer 1

分析 根据定义分别计算f₁（x），f₂（x），f₃（x），然后根据前三个函数的值域归纳出f_n（x）的表达式，然后利用分式函数求函数的值域．

解答 解：根据定义可知f₂（x）=f₁[f₁（x）]=$\frac{\frac{x}{x+3}}{\frac{x}{x+3}+3}$=$\frac{x}{4x+9}$，
f₃（x）=f₁[f₂（x）]=$\frac{\frac{x}{4x+9}}{\frac{x}{4x+9}+3}$=$\frac{x}{13x+27}$，
f₄（x）=f₁[f₃（x）]=$\frac{x}{40x+81}$，
∴f_n（x）=$\frac{x}{\frac{1}{2}（{3}^{n}-1）x+{3}^{n}}$=$\frac{2}{{3}^{n}-1}•\frac{x}{x+\frac{2•{3}^{n}}{{3}^{n}-1}}＜\frac{2}{{3}^{n}-1}$，
∴f_n（x）的值域为（0，$\frac{2}{{3}^{n}-1}$）．
故答案为：（0，$\frac{2}{{3}^{n}-1}$）．

点评 本题考查函数的值域，求出前几项归纳出f_n（x）的表达式是解决本题的关键，考查学生的观察分析能力，是中档题．