Question

已知数列{a_n}中的相邻两项a_2k-1，a_2k是关于x的方程x²-（3k+2^k）x+3k•2^k=0的两个根，且a_2k-1≤a_2k（k=1，2，3，…）．
（I）求a₁，a₃，a₅，a₇；
（II）求数列{a_n}的前2n项和S_2n；
（Ⅲ）记f(n)=

1

2

(

|sinn|

sinn

+3)，Tn=

(-1)f(2)

a1a2

+

(-1)f(3)

a3a4

+

(-1)f(4)

a5a6

+…+

(-1)f(n+1)

a2n-1a2n

，求证：

1

6

≤Tn≤

5

24

(n∈N*)．

Answer 1

（I）方程x²-（3k+2^k）x+3k•2^k=0的两个根为x₁=3k，x₂=2^k，
当k=1时，x₁=3，x₂=2，所以a₁=2；
当k=2时，x₁=6，x₂=4，所以a₃=4；
当k=3时，x₁=9，x₂=8，所以a₅=8时；
当k=4时，x₁=12，x₂=16，所以a₇=12．
（II）S_2n=a₁+a₂++a_2n=（3+6++3n）+（2+2²++2ⁿ）=

3n2+3n

2

+2n+1-2．
（III）证明：Tn=

1

a1a2

+

1

a3a4

-

1

a5a6

+…+

(-1)f(n+1)

a2n-1a2n

，
所以T1=

1

a1a2

=

1

6

，T2=

1

a1a2

+

1

a3a4

=

5

24

．当n≥3时，Tn=

1

6

+

1

a3a4

-

1

a5a6

+…+

(-1)f(n+1)

a2n-1a2n

，≥

1

6

+

1

a3a4

-(

1

a5a6

+…+

1

a2n-1a2n

)≥

1

6

+

1

6•22

-

1

6

(

1

23

+…+

1

2n

)=

1

6

+

1

6•22

-

1

24

(1-

1

2n-3

)＞ 

1

6

，
同时，Tn=

5

24

-

1

a5a6

-

1

a7a8

+…+

(-1)f(n+1)

a2n-1a2n

≤

5

24

-

1

a5a6

+(

1

a7a8

+…+

1

a2n-1a2n

)≤

5

24

-

1

9•23

+

1

9

(

1

24

+…+

1

2n

)=

5

24

-

1

9•23

+

1

9

•

1

23

(1-

1

2n-3

)＜ 

5

24

．
综上，当n∈N*时，

1

6

≤Tn≤

5

24

．